Propiedades de la Transformada de Fourier

Propiedades de la Transformada de Fourier

A continuación, enunciaremos las propiedades más importantes de la Transformada de Fourier en tiempo continuo, haciendo mayor hincapié en las implicaciones en el estudio de señales y sistemas de cada propiedad que en su demostración matemática.

Linealidad

Supone la proporcionalidad entre las amplitudes en los dominios natural y transformado y la conservación de propiedades tales como la distributividad respecto a la suma. La demostración se obtiene fácilmente a partir de la definición de la transformada. 

Propiedad de convolución

Las implicaciones de esta propiedad son las ya discutidas para la Transformada de Laplace: si Y (jω) es la función de transferencia de un sistema lineal e invariante, la salida del sistema en el dominio de la frecuencia es el producto de la entrada por la función de transferencia. Su demostración se obtiene particularizando la propiedad de convolución de la Transformada de Laplace.

Convolución en Frecuencia

La multiplicación de dos señales resulta en la convolución de sus espectros, y en ella se basa la modulación.

Desplazamiento Temporal

Un desplazamiento temporal de la señal no afecta al módulo de la transformada. Afecta sólo a la fase, sumando un término de valor −ωt0. 

Derivación

Una derivación en el tiempo supone una atenuación en frecuencias bajas (cercanas a cero) y un realce en frecuencias altas. Podemos incluso considerar el derivador como un sistema lineal e invariante cuya función de transferencia es H(jω) = jω.

Integración

Es la propiedad contraria a la derivación. Nótese el término πX(j0)δ(ω) que aparece cuando el valor de la transformada a frecuencia cero, que se corresponde con la integral de -∞ a ∞ de x(t) dt, es distinto de cero.

Cambio de Escala

Siendo a un valor real. Si comprimimos una señal en el tiempo (a > 1), expandimos su espectro, y viceversa. Esto indica que hay un compromiso duración-ancho de banda, que no es sino una manifestación del Principio de Incertidumbre. Basado en esta propiedad puede comprobarse que, si una señal es de duración temporal finita, su ancho de banda es infinito y, contrariamente, si una señal tiene ancho de banda finito, su forma de onda tiene duración infinita.

Dualidad

Esta propiedad nos dice que ambos dominios son (salvo factores de escala e inversiones de la variable independiente), intercambiables.

Producto

La aplicación de esta propiedad al estudio de sistemas no lineales sin memoria (interpretando y(t) como T {x(t)} /x(t) y calculando su Transformada de Fourier) nos ayuda a comprender el tipo de transformación que realizan en el dominio de la frecuencia sobre una señal dada. También nos ayuda a comprender el efecto que supone la observación de una señal durante un tiempo limitado (interpretando y(t) como una señal de valor 1 en el intervalo de observación y 0 fuera de este). Esta propiedad se obtiene de la aplicación de la propiedad de dualidad a la propiedad de convolución.

Modulación

Esta propiedad es fundamental en comunicaciones por ser la base de las modulaciones lineales. Nos dice que multiplicar una señal por una sinusoide compleja implica un desplazamiento en frecuencia de valor el de la sinusoide. Se obtiene como caso particular de la propiedad del producto.

Derivación de Frecuencia

Puede obtenerse como caso particular de la propiedad del producto o bien aplicando la propiedad de dualidad a la propiedad de derivación en el tiempo.

Simetría

La aplicación de esta propiedad a señales pares e impares (o a las partes par e impar de una señal) nos dice que si una señal es par (x(t) = x(−t)), su transformada también lo es (X(jω) = X(−jω)), y que si una señal es impar (x(t) = −x(−t)), su transformada también lo es (X(jω) = −X(−jω)).

 

Conjugación

La aplicación de esta propiedad a señales reales e imaginarias puras (o a las partes real e imaginaria de una señal) nos dice que si una señal es real (x(t) = x ∗ (t)), su transformada es hermítica (X(jω) = X∗ (−jω)), y que si una señal es imaginaria pura (x(t) = −x ∗ (−t)), su transformada es antihermítica (X(jω) = −X∗ (−jω)). También nos dice que la parte real de una señal compleja se transforma en la parte hermítica de la transformada, y que la parte imaginaria de una señal compleja se transforma en la parte antihermítica de la transformada. Combinando esta propiedad con la anterior podemos establecer aseveraciones como: la transformada de una señal real y par es real y par, o la transformada de una señal real e impar es imaginaria pura e impar.

Conservación del producto escalar o Relación de Parseval.

Se demuestra a partir de la propiedad de conservación del producto escalar en el espacio vectorial de señales de energía finita. 

Conservación de la energía o Teorema de Rayleigh

Se obtiene como caso particular de la Relación de Parseval y generalmente es confundido con esta. Esta propiedad permite interpretar el módulo al cuadrado de la Transformada de Fourier, |X(jω)| 2 , como una densidad de energía: la parte izquierda de la igualdad es la medida de la energía de x(t) y, por tanto, la parte derecha de la igualdad también lo es; si la energía se obtiene mediante integración de una función, esa función puede interpretarse como densidad de energía. Como la variable independiente de esa función es la frecuencia, |X(jω)| 2 se denomina densidad espectral de energía.

Tabla resumida con las propiedades: